.md # Εξέλιξη κατανομής πολιτικού φάσματος :::info Συγγραφή: *Κώστας Κούδας* Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/). ::: :::warning ⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️ :::

Εξέλιξη κατανομής πολιτικού φάσματος

:::info

Συγγραφή: *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

:::

:::warning

⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️

:::

.md *Κώστας Κούδας* Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/). [Αρχική](https://kkoudas01.github.io/r4social/index.html) *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

Αρχική .md ## Κανονική κατανομή Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πληθυσμό, με τα μέλη του να έχουν μια πολιτική τοποθέτηση, η οποία να καθορίζεται από $n$ παραμέτρους. Συνεπώς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πολιτική τοποθέτηση κάθε ατόμου είναι ένα σημείο του $\mathbb{R}^n$. Η πληθυσμιακή πυκνότητα στην πολιτική θέση $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ($n=1,2,3$) τη χρονική στιγμή $t$ δίνεται από τη συνάρτηση $u(\boldsymbol{x},t)$. Θεωρούμε επίσης ότι στη θέση $\boldsymbol{x}$ τη χρονική στιγμή $t$ υπάρχει ροή πληθυσμού ίση με $\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)$. Τέλος, ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός γεννήσεων είναι πυκνοεξαρτόμενος και ίσος με $r(u)$. Ας εξετάσουμε τώρα μια περιοχή $A$ του πολιτικού φάσματος. Εκεί η πληθυσμιακή πυκνότητα τη χρονική στιγμή $t$ θα είναι: $$ \int_Vu(\boldsymbol{x},t)d V, $$ \noindent όπου $d V$ το στοιχείο του χώρου $A$. Επομένως ο ρυθμός μεταβολής των ατόμων της περιοχής αυτής θα είναι: $$ \dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V. $$ Όμως ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού της περιοχής $A$ είναι: - ο ρυθμός των ατόμων που ρέουν προς το εσωτερικό του $A$: $$ -\int_{\partial A}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S, $$ όπου $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)$ το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\partial A$ στη θέση $\boldsymbol{x}\in\partial A$ και $d S$ το στοιχείο της επιφάνειας $\partial A$, - συν τον ρυθμό παραγωγής νέων ατόμων σε όλη την περιοχή $A$: $$ \int_Ar\left(u(\boldsymbol{x},t)\right)d V. $$ Όμως από το θεώρημα της απόκλισης έχουμε ότι: $$ -\int_{\partial V}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S=-\int_{ V}\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)d \boldsymbol{x}. $$ Έτσι, δεδομένου ότι: $$ \dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V=\int_A u_t(\boldsymbol{x},t)d V, $$ \noindent διαπιστώνουμε ότι: $$ \int_A\left( u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}-r\left( u\right) \right) d \boldsymbol{x} =0. $$ Καθόσον τα παραπάνω θέλουμε να ισχύουν για κάθε περιοχή $Α$, καταλήγουμε στη μερική διαφορική εξίσωση: $$ u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}=r(u). $$ Μέχρι τώρα έχουμε δύο άγνωστες συναρτήσεις, την $u$ και τη $\phi$. Ας δούμε μήπως αυτές σχετίζονται, ώστε να έχουμε να ψάξουμε μόνο μία. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν να υπάρχει συγκέντρωση πληθυσμού στα γειτονικά σημεία με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση, δηλαδή ότι ο κάθε ένας που φέρει μια συγκεκριμένη πολιτική άποψη έχει μια τάση να μετατοπιστεί πολιτικά προς την δημοφιλέστερη κοντινή σε αυτόν άποψη. Με άλλα λόγια, σε κάθε σημείο $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ο πληθυσμός τείνει να μετατοπιστεί προς το γειτονικό σημείο ($ \boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x} $) με τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα. Η εν λόγω κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης πυκνότητας δεν είναι άλλη από αυτήν του $\nabla u$. Αφού, λοιπόν, ο πληθυσμός ρέει προς την κατεύθυνση του $\nabla u$, σημαίνει ότι $\boldsymbol{\phi}\uparrow\uparrow \nabla u$, ήτοι ότι υπάρχει $kD>0$ τέτοιο, ώστε: $$ \boldsymbol{\phi}= k \nabla u, $$ \noindent το οποίο είναι μια παραλλαγή του νόμου του Fick για τις $n$ διαστάσεις. Καταλήγουμε, λοιπόν, στη μερική διαφορική εξίσωση: $$ u_t+k\nabla^2\boldsymbol{\phi}=r(u), $$ όπου $\nabla^2$ η Λαπλασιανή: $$ \nabla^2=\sum_{j=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_j^2}. $$ Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η παραπάνω Μ.Δ.Ε. είναι μια παραλλαγή της πολυδιάστατης εξίσωσης Fisher. Το μονοδιάστατο ανάλογο της παραπάνω εξίσωσης (στην περίπτωση που η πολιτική τοποθέτηση καθορίζεται μονοπαρεμετρικά, π.χ. θέση στο διάστημα αριστερά-δεξιά) είναι: $$ u_t+ku_{xx}=r(u) $$

Κανονική κατανομή

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πληθυσμό, με τα μέλη του να έχουν μια πολιτική τοποθέτηση, η οποία να καθορίζεται από $n$ παραμέτρους. Συνεπώς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πολιτική τοποθέτηση κάθε ατόμου είναι ένα σημείο του $\mathbb{R}^n$. Η πληθυσμιακή πυκνότητα στην πολιτική θέση $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ($n=1,2,3$) τη χρονική στιγμή $t$ δίνεται από τη συνάρτηση $u(\boldsymbol{x},t)$. Θεωρούμε επίσης ότι στη θέση $\boldsymbol{x}$ τη χρονική στιγμή $t$ υπάρχει ροή πληθυσμού ίση με $\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)$. Τέλος, ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός γεννήσεων είναι πυκνοεξαρτόμενος και ίσος με $r(u)$.

Ας εξετάσουμε τώρα μια περιοχή $A$ του πολιτικού φάσματος. Εκεί η πληθυσμιακή πυκνότητα τη χρονική στιγμή $t$ θα είναι:

$$

\int_Vu(\boldsymbol{x},t)d V,

$$

\noindent όπου $d V$ το στοιχείο του χώρου $A$. Επομένως ο ρυθμός μεταβολής των ατόμων της περιοχής αυτής θα είναι:

$$

\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V.

$$

Όμως ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού της περιοχής $A$ είναι:

- ο ρυθμός των ατόμων που ρέουν προς το εσωτερικό του $A$:

$$

-\int_{\partial A}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S,

$$

όπου $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)$ το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\partial A$ στη θέση $\boldsymbol{x}\in\partial A$ και $d S$ το στοιχείο της επιφάνειας $\partial A$,

- συν τον ρυθμό παραγωγής νέων ατόμων σε όλη την περιοχή $A$:

$$

\int_Ar\left(u(\boldsymbol{x},t)\right)d V.

$$

Όμως από το θεώρημα της απόκλισης έχουμε ότι:

$$

-\int_{\partial V}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S=-\int_{ V}\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)d \boldsymbol{x}.

$$

Έτσι, δεδομένου ότι:

$$

\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V=\int_A u_t(\boldsymbol{x},t)d V,

$$

\noindent διαπιστώνουμε ότι:

$$

\int_A\left( u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}-r\left( u\right) \right) d \boldsymbol{x} =0.

$$

Καθόσον τα παραπάνω θέλουμε να ισχύουν για κάθε περιοχή $Α$, καταλήγουμε στη μερική διαφορική εξίσωση:

$$

u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}=r(u).

$$

Μέχρι τώρα έχουμε δύο άγνωστες συναρτήσεις, την $u$ και τη $\phi$. Ας δούμε μήπως αυτές σχετίζονται, ώστε να έχουμε να ψάξουμε μόνο μία. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν να υπάρχει συγκέντρωση πληθυσμού στα γειτονικά σημεία με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση, δηλαδή ότι ο κάθε ένας που φέρει μια συγκεκριμένη πολιτική άποψη έχει μια τάση να μετατοπιστεί πολιτικά προς την δημοφιλέστερη κοντινή σε αυτόν άποψη. Με άλλα λόγια, σε κάθε σημείο $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ο πληθυσμός τείνει να μετατοπιστεί προς το γειτονικό σημείο ($ \boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x} $) με τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα. Η εν λόγω κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης πυκνότητας δεν είναι άλλη από αυτήν του $\nabla u$. Αφού, λοιπόν, ο πληθυσμός ρέει προς την κατεύθυνση του $\nabla u$, σημαίνει ότι $\boldsymbol{\phi}\uparrow\uparrow \nabla u$, ήτοι ότι υπάρχει $kD>0$ τέτοιο, ώστε:

$$

\boldsymbol{\phi}= k \nabla u,

$$

\noindent το οποίο είναι μια παραλλαγή του νόμου του Fick για τις $n$ διαστάσεις.

Καταλήγουμε, λοιπόν, στη μερική διαφορική εξίσωση:

$$

u_t+k\nabla^2\boldsymbol{\phi}=r(u),

$$

όπου $\nabla^2$ η Λαπλασιανή:

$$

\nabla^2=\sum_{j=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_j^2}.

$$

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η παραπάνω Μ.Δ.Ε. είναι μια παραλλαγή της πολυδιάστατης εξίσωσης Fisher.

Το μονοδιάστατο ανάλογο της παραπάνω εξίσωσης (στην περίπτωση που η πολιτική τοποθέτηση καθορίζεται μονοπαρεμετρικά, π.χ. θέση στο διάστημα αριστερά-δεξιά) είναι:

$$

u_t+ku_{xx}=r(u)

$$

.md ## Κανονική κατανομή

Κανονική κατανομή

.md Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο πληθυσμούς `pop1` και `pop2`, τους οποίους εξαιτάζουμε ως προς τη θέση στο πολιτικό φάσμα. Κάτωθι δίνεται η κατανομή του φρονήματος του ενός και του άλλου, όπου στην παρούσα ενότητα έχουν υποτεθεί κανονικές. Δεχόμαστε επίσης ότι ο αριθμός των γεννήσεων είναι μηδενικός. Πρώτη δίνεται η κατανομή του `pop1`. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο πληθυσμούς `pop1` και `pop2`, τους οποίους εξαιτάζουμε ως προς τη θέση στο πολιτικό φάσμα. Κάτωθι δίνεται η κατανομή του φρονήματος του ενός και του άλλου, όπου στην παρούσα ενότητα έχουν υποτεθεί κανονικές.

Πρώτη δίνεται η κατανομή του `pop1`.

Clear["Global`*"] m1=0; s1=3; m2=5; s2=1; a = Min[m1-3s1,m2-3s2]; b= Max[m1+3s1,m2+3s2]; pop1[x_]:=PDF[NormalDistribution[m1,s1],x] pop2[x_]:=PDF[NormalDistribution[m2,s2],x] Plot[pop1[x],{x,a,b},PlotRange->All] .md Ακολουθεί η κατανομή του `pop2`. Ακολουθεί η κατανομή του `pop2`.

Plot[pop2[x],{x,a,b},PlotRange->All] .md Ακολούθως τους αναμειγνύουμε και φτιάχνουμε έναν ενιαίο πληθυσμό `pop`. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν είναι ίδιοι οι `pop1` και `pop2`. Συγκεκριμένα, ο `pop1` είναι το `p1=90%` ποσοστό του `pop` και ο `pop2` το `p2=1-p1=10%` ποσοστό του `pop`. Έχουμε, λοιπόν, την κάτωθι κατανομή. Ακολούθως τους αναμειγνύουμε και φτιάχνουμε έναν ενιαίο πληθυσμό `pop`. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν είναι ίδιοι οι `pop1` και `pop2`. Συγκεκριμένα, ο `pop1` είναι το `p1=90%` ποσοστό του `pop` και ο `pop2` το `p2=1-p1=10%` ποσοστό του `pop`. Έχουμε, λοιπόν, την κάτωθι κατανομή.

p1 = 0.9; p2 = 1-p1; pop[x_]:=p1 pop1[x]+p2 pop2[x] Plot[pop[x],{x,a,b},PlotRange->All] k=1/10; sol = DSolve[ {D[u[t, x], t] == -k^2 D[u[t, x], {x, 2}], u[0, x] == pop[x]}, u[t,x], {t,x}]; u[t_,x_]:=Evaluate[u[t, x] /. sol]; u[t,x] NIntegrate[u[1.3,x],{x,a-10,b+10}] numOfa = 15; aMax=50; colList = Table[ColorData["SunsetColors"][n], {n, 0, 1, 1/numOfa}]; nameList = Table["t=" <> ToString[N[n]], {n, 0, aMax, (aMax)/numOfa}]; fList1 = Table[u[t,x], {t, 0, aMax, (aMax)/numOfa}]; p1 = Plot[fList1, {x, m1-3s1, m2+3s2}, PlotStyle -> colList, ImageSize -> Medium, PlotLegends -> nameList, PlotLabel -> "Χρονική εξέλιξη δύο κανονικών πληθυσμών", Background -> Gray, ImageSize->1000] .md ## Κατανομή Χι-τετράγωνο

Κατανομή Χι-τετράγωνο

.md ## Ταξίδι στο παρελθόν;

Ταξίδι στο παρελθόν;

Clear["Global`*"] k=1/10; p1=99/100; p2=1-p1; m1=0; s1=15/10; m2=5; s2=1; sol = DSolve[ {D[u[t, x], t] == -k^2 D[u[t, x], {x, 2}], u[0, x] == p1 DiracDelta[x-m1]+p2 DiracDelta[x-m2]}, u[t,x], {t,x}]; u[t_,x_]:=Evaluate[u[t, x] /. sol]; u[t,x]