.md # Εξέλιξη κατανομής πολιτικού φάσματος

:::info
Συγγραφή: *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).
:::

:::warning
⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️
:::

Εξέλιξη κατανομής πολιτικού φάσματος

:::info

Συγγραφή: *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

:::

:::warning

⚠️ ΥΠΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ⚠️

:::

.md *Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

[Αρχική](https://kkoudas01.github.io/r4social/index.html)

*Κώστας Κούδας*

Υλοποίηση μέσω γλώσσας Wolfram στο [WLJS Notebook](https://jerryi.github.io/wljs-docs/).

Αρχική

.md ## Κανονική κατανομή

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πληθυσμό, με τα μέλη του να έχουν μια πολιτική τοποθέτηση, η οποία να καθορίζεται από $n$ παραμέτρους. Συνεπώς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πολιτική τοποθέτηση κάθε ατόμου είναι ένα σημείο του $\mathbb{R}^n$. Η πληθυσμιακή πυκνότητα στην πολιτική θέση $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ($n=1,2,3$) τη χρονική στιγμή $t$ δίνεται από τη συνάρτηση $u(\boldsymbol{x},t)$. Θεωρούμε επίσης ότι στη θέση $\boldsymbol{x}$ τη χρονική στιγμή $t$ υπάρχει ροή πληθυσμού ίση με $\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)$. Τέλος, ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός γεννήσεων  είναι πυκνοεξαρτόμενος και ίσος με $r(u)$.

Ας εξετάσουμε τώρα μια περιοχή $A$ του πολιτικού φάσματος. Εκεί η πληθυσμιακή πυκνότητα τη χρονική στιγμή $t$ θα είναι:

$$
\int_Vu(\boldsymbol{x},t)d V,
$$

\noindent όπου $d V$ το στοιχείο του χώρου $A$. Επομένως ο ρυθμός μεταβολής των ατόμων της περιοχής αυτής θα είναι:

$$
\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V.
$$

Όμως ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού της περιοχής $A$ είναι:

- ο ρυθμός των ατόμων που ρέουν προς το εσωτερικό του $A$:
	
$$
  -\int_{\partial A}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S,
$$
	
  όπου $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)$ το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\partial A$ στη θέση $\boldsymbol{x}\in\partial A$ και $d S$ το στοιχείο της επιφάνειας $\partial A$,
	
- συν τον ρυθμό παραγωγής νέων ατόμων σε όλη την περιοχή $A$:
	
$$
\int_Ar\left(u(\boldsymbol{x},t)\right)d V.
$$

Όμως από το θεώρημα της απόκλισης έχουμε ότι:

$$
-\int_{\partial V}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S=-\int_{ V}\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)d \boldsymbol{x}.
$$

Έτσι, δεδομένου ότι:

$$
\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V=\int_A u_t(\boldsymbol{x},t)d V,
$$

\noindent διαπιστώνουμε ότι:

$$
\int_A\left( u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}-r\left( u\right) \right) d \boldsymbol{x} =0.
$$

Καθόσον τα παραπάνω θέλουμε να ισχύουν για κάθε περιοχή $Α$, καταλήγουμε στη μερική διαφορική εξίσωση:

$$
u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}=r(u).
$$

Μέχρι τώρα έχουμε δύο άγνωστες συναρτήσεις, την $u$ και τη $\phi$. Ας δούμε μήπως αυτές σχετίζονται, ώστε να έχουμε να ψάξουμε μόνο μία. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν να υπάρχει συγκέντρωση πληθυσμού στα γειτονικά σημεία με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση, δηλαδή ότι ο κάθε ένας που φέρει μια συγκεκριμένη πολιτική άποψη έχει μια τάση να μετατοπιστεί πολιτικά προς την δημοφιλέστερη κοντινή σε αυτόν άποψη. Με άλλα λόγια, σε κάθε σημείο $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$  ο πληθυσμός τείνει να μετατοπιστεί προς το γειτονικό σημείο ($ \boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x} $) με τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα.  Η εν λόγω κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης πυκνότητας δεν είναι άλλη από αυτήν του $\nabla u$. Αφού, λοιπόν, ο πληθυσμός ρέει προς την κατεύθυνση του $\nabla u$, σημαίνει ότι $\boldsymbol{\phi}\uparrow\uparrow \nabla u$, ήτοι ότι υπάρχει $kD>0$ τέτοιο, ώστε:

$$
\boldsymbol{\phi}= k \nabla u,
$$

\noindent το οποίο είναι μια παραλλαγή του νόμου του Fick για τις $n$ διαστάσεις.

Καταλήγουμε, λοιπόν, στη μερική διαφορική εξίσωση:

$$
u_t+k\nabla^2\boldsymbol{\phi}=r(u),
$$

όπου $\nabla^2$ η Λαπλασιανή:

$$
\nabla^2=\sum_{j=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_j^2}.
$$

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η παραπάνω Μ.Δ.Ε. είναι μια παραλλαγή της πολυδιάστατης εξίσωσης Fisher.

Το μονοδιάστατο ανάλογο της παραπάνω εξίσωσης (στην περίπτωση που η πολιτική τοποθέτηση καθορίζεται μονοπαρεμετρικά, π.χ. θέση στο διάστημα αριστερά-δεξιά) είναι:

$$
u_t+ku_{xx}=r(u)
$$

Κανονική κατανομή

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν πληθυσμό, με τα μέλη του να έχουν μια πολιτική τοποθέτηση, η οποία να καθορίζεται από $n$ παραμέτρους. Συνεπώς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πολιτική τοποθέτηση κάθε ατόμου είναι ένα σημείο του $\mathbb{R}^n$. Η πληθυσμιακή πυκνότητα στην πολιτική θέση $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ($n=1,2,3$) τη χρονική στιγμή $t$ δίνεται από τη συνάρτηση $u(\boldsymbol{x},t)$. Θεωρούμε επίσης ότι στη θέση $\boldsymbol{x}$ τη χρονική στιγμή $t$ υπάρχει ροή πληθυσμού ίση με $\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)$. Τέλος, ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός γεννήσεων είναι πυκνοεξαρτόμενος και ίσος με $r(u)$.

Ας εξετάσουμε τώρα μια περιοχή $A$ του πολιτικού φάσματος. Εκεί η πληθυσμιακή πυκνότητα τη χρονική στιγμή $t$ θα είναι:

\int_Vu(\boldsymbol{x},t)d V,

\noindent όπου $d V$ το στοιχείο του χώρου $A$. Επομένως ο ρυθμός μεταβολής των ατόμων της περιοχής αυτής θα είναι:

\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V.

Όμως ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού της περιοχής $A$ είναι:

- ο ρυθμός των ατόμων που ρέουν προς το εσωτερικό του $A$:

-\int_{\partial A}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S,

όπου $\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)$ το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\partial A$ στη θέση $\boldsymbol{x}\in\partial A$ και $d S$ το στοιχείο της επιφάνειας $\partial A$,

- συν τον ρυθμό παραγωγής νέων ατόμων σε όλη την περιοχή $A$:

\int_Ar\left(u(\boldsymbol{x},t)\right)d V.

Όμως από το θεώρημα της απόκλισης έχουμε ότι:

-\int_{\partial V}\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x},t)d S=-\int_{ V}\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}(\boldsymbol{x},t)d \boldsymbol{x}.

Έτσι, δεδομένου ότι:

\dfrac{d}{d t}\int_A u(\boldsymbol{x},t)d V=\int_A u_t(\boldsymbol{x},t)d V,

\noindent διαπιστώνουμε ότι:

\int_A\left( u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}-r\left( u\right) \right) d \boldsymbol{x} =0.

Καθόσον τα παραπάνω θέλουμε να ισχύουν για κάθε περιοχή $Α$, καταλήγουμε στη μερική διαφορική εξίσωση:

u_t+\nabla\cdot\boldsymbol{\phi}=r(u).

Μέχρι τώρα έχουμε δύο άγνωστες συναρτήσεις, την $u$ και τη $\phi$. Ας δούμε μήπως αυτές σχετίζονται, ώστε να έχουμε να ψάξουμε μόνο μία. Μια εύλογη υπόθεση θα ήταν να υπάρχει συγκέντρωση πληθυσμού στα γειτονικά σημεία με τη μεγαλύτερη συγκέντρωση, δηλαδή ότι ο κάθε ένας που φέρει μια συγκεκριμένη πολιτική άποψη έχει μια τάση να μετατοπιστεί πολιτικά προς την δημοφιλέστερη κοντινή σε αυτόν άποψη. Με άλλα λόγια, σε κάθε σημείο $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ο πληθυσμός τείνει να μετατοπιστεί προς το γειτονικό σημείο ($ \boldsymbol{x}+d\boldsymbol{x} $) με τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα. Η εν λόγω κατεύθυνση της μέγιστης αύξησης πυκνότητας δεν είναι άλλη από αυτήν του $\nabla u$. Αφού, λοιπόν, ο πληθυσμός ρέει προς την κατεύθυνση του $\nabla u$, σημαίνει ότι $\boldsymbol{\phi}\uparrow\uparrow \nabla u$, ήτοι ότι υπάρχει $kD>0$ τέτοιο, ώστε:

\boldsymbol{\phi}= k \nabla u,

\noindent το οποίο είναι μια παραλλαγή του νόμου του Fick για τις $n$ διαστάσεις.

Καταλήγουμε, λοιπόν, στη μερική διαφορική εξίσωση:

u_t+k\nabla^2\boldsymbol{\phi}=r(u),

όπου $\nabla^2$ η Λαπλασιανή:

\nabla^2=\sum_{j=1}^{n}\dfrac{\partial^2}{\partial x_j^2}.

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η παραπάνω Μ.Δ.Ε. είναι μια παραλλαγή της πολυδιάστατης εξίσωσης Fisher.

Το μονοδιάστατο ανάλογο της παραπάνω εξίσωσης (στην περίπτωση που η πολιτική τοποθέτηση καθορίζεται μονοπαρεμετρικά, π.χ. θέση στο διάστημα αριστερά-δεξιά) είναι:

u_t+ku_{xx}=r(u)

.md ## Κανονική κατανομή

Κανονική κατανομή

.md Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο πληθυσμούς `pop1` και `pop2`, τους οποίους εξαιτάζουμε ως προς τη θέση στο πολιτικό φάσμα. Κάτωθι δίνεται η κατανομή του φρονήματος του ενός και του άλλου, όπου στην παρούσα ενότητα έχουν υποτεθεί κανονικές. Δεχόμαστε επίσης ότι ο αριθμός των γεννήσεων είναι μηδενικός.

Πρώτη δίνεται η κατανομή του `pop1`.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο πληθυσμούς `pop1` και `pop2`, τους οποίους εξαιτάζουμε ως προς τη θέση στο πολιτικό φάσμα. Κάτωθι δίνεται η κατανομή του φρονήματος του ενός και του άλλου, όπου στην παρούσα ενότητα έχουν υποτεθεί κανονικές.

Πρώτη δίνεται η κατανομή του `pop1`.

Clear["Global`*"]
m1=0;
s1=3;
m2=5;
s2=1;
a = Min[m1-3s1,m2-3s2];
b= Max[m1+3s1,m2+3s2];
pop1[x_]:=PDF[NormalDistribution[m1,s1],x]
pop2[x_]:=PDF[NormalDistribution[m2,s2],x]
Plot[pop1[x],{x,a,b},PlotRange->All]

.md Ακολουθεί η κατανομή του `pop2`.

Ακολουθεί η κατανομή του `pop2`.

Plot[pop2[x],{x,a,b},PlotRange->All]

.md Ακολούθως τους αναμειγνύουμε και φτιάχνουμε έναν ενιαίο πληθυσμό `pop`. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν είναι ίδιοι οι `pop1` και `pop2`. Συγκεκριμένα, ο `pop1` είναι το `p1=90%` ποσοστό του `pop` και ο `pop2` το `p2=1-p1=10%` ποσοστό του `pop`. Έχουμε, λοιπόν, την κάτωθι κατανομή.

Ακολούθως τους αναμειγνύουμε και φτιάχνουμε έναν ενιαίο πληθυσμό `pop`. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν είναι ίδιοι οι `pop1` και `pop2`. Συγκεκριμένα, ο `pop1` είναι το `p1=90%` ποσοστό του `pop` και ο `pop2` το `p2=1-p1=10%` ποσοστό του `pop`. Έχουμε, λοιπόν, την κάτωθι κατανομή.

p1 = 0.9;
p2 = 1-p1;
pop[x_]:=p1 pop1[x]+p2 pop2[x]
Plot[pop[x],{x,a,b},PlotRange->All]

k=1/10;
sol = DSolve[
    {D[u[t, x], t] == -k^2 D[u[t, x], {x, 2}], 
     u[0, x] == pop[x]}, 
    u[t,x], {t,x}];
u[t_,x_]:=Evaluate[u[t, x] /. sol];
u[t,x]

NIntegrate[u[1.3,x],{x,a-10,b+10}]

numOfa = 15;
aMax=50;
colList = Table[ColorData["SunsetColors"][n], {n, 0, 1, 1/numOfa}];

nameList = 
  Table["t=" <> ToString[N[n]], {n, 0, aMax, (aMax)/numOfa}];
fList1 = 
  Table[u[t,x], {t, 0, aMax, (aMax)/numOfa}];
  p1 = Plot[fList1, {x, m1-3s1, m2+3s2}, 
   PlotStyle -> colList, ImageSize -> Medium, 
   PlotLegends -> nameList, 
   PlotLabel -> 
    "Χρονική εξέλιξη δύο κανονικών πληθυσμών", Background -> Gray, ImageSize->1000]

.md ## Κατανομή Χι-τετράγωνο

Κατανομή Χι-τετράγωνο

.md ## Ταξίδι στο παρελθόν;

Ταξίδι στο παρελθόν;

Clear["Global`*"]
k=1/10;
p1=99/100;
p2=1-p1;
m1=0;
s1=15/10;
m2=5;
s2=1;
sol = DSolve[
    {D[u[t, x], t] == -k^2 D[u[t, x], {x, 2}], 
     u[0, x] == p1 DiracDelta[x-m1]+p2 DiracDelta[x-m2]}, 
    u[t,x], {t,x}];
u[t_,x_]:=Evaluate[u[t, x] /. sol];
u[t,x]